totales Differenzial

totales Differenzial,

 

vollständiges Differenzial, Verallgemeinerung des Begriffs der Ableitung von reellen Funktionen (Differenzialrechnung) aus dem ℝⁿ in den ℝ^p. Das totale Differenzial ist der lineare Anteil Df (x) · h des Funktionszuwachses f (x + h) — f (x) einer auf der offenen Teilmenge U des ℝⁿ (Raum) definierten Abbildung f : U → ℝ^p, die in x ∈ U total differenzierbar ist, d. h. zu der eine im Punkt x stetige Abbildung Df : U → Hom (ℝⁿ, ℝ^p) von U in den mit der Operatornorm

 

versehenen Vektorraum Hom (ℝⁿ, ℝ^p) der linearen Abbildungen des ℝⁿ in den ℝ^p existiert, sodass für alle h ∈ ℝⁿ mit x + h ∈ U gilt:

 

Aus der Differenzierbarkeit von f in x folgen die Stetigkeit von f in x und die Existenz aller partiellen Ableitungen

 

der p Komponentenfunktionen f_i : U →ℝ von f in x. Das totale Differenzial Df (x) von f in x wird dargestellt durch die als Jacobi-Matrix bezeichnete (p × n)-Matrix

 

Hinreichend für die totale Differenzierbarkeit von f in x ist die stetige partielle Differenzierbarkeit der Komponentenfunktionen f_i von f in x. Zur obigen Definition der totalen Differenzierbarkeit existieren äquivalente Formulierungen. Insbesondere ist eine Funktion g : U → ℝ in x ∈ U genau dann total differenzierbar, wenn eine Linearform Dg (x) : ℝⁿ →ℝ existiert, sodass für jeden Punkt dy = (dy₁,. .., dy_n) ∈ ℝⁿ mit x + dy ∈ U gilt:

 

wobei für

 

(Grenzwert). Das totale Differenzial von g in x ist in diesem Fall